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Qiskit Textbook Lecture 2

2021/07/25

說明：

量子硬幣的實驗。

借用波粒二象性，波的概念。以振幅平方為機率密度（或機率）。

從初始狀態，到第一次投擲，到第二次投擲：

0 0 0 的振幅為 1/2。

0 1 0 的振幅為 1/2。

振幅相加（疊加）的結果為 1。振幅平方，也就是機率為 1。

0 0 1 的振幅為 1/2。

0 1 1 的振幅為 -1/2。

振幅相加（疊加）的結果為 0。振幅平方，也就是機率為 0。

https://qiskit.org/textbook/what-is-quantum.html

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https://qiskit.org/textbook/what-is-quantum.html

一開始是古典機率複習。首先是擲銅板。第一個實驗是單擲硬幣，第二個實驗是雙擲硬幣。

第三個實驗是單擲量子硬幣，第四個實驗是雙擲量子硬幣。在第四個實驗時，出了一點問題。

「This doesn't match our prediction at all! Our model has failed us! This is the same problem that physicists encountered in the early 20th century. Searching for the answer led to the development of quantum physics, which is what we will use to describe our quantum coin toss.」

這完全不符合我們的預測！我們的模式辜負了我們！這與物理學家在 20 世紀初遇到的問題相同。尋找答案導致了量子物理學的發展，我們將用它來描述我們的量子拋硬幣。

The Quantum Model

「In short, quantum theory is probability theory with negative numbers.」

「What does this mean? We can’t have negative probabilities as that doesn’t make sense. To accommodate this, we use a new quantity we call amplitudes and plot these on trees instead. To get around the fact that we cannot have negative probabilities, and that all our probabilities must add up to 1, we use a mathematical trick: We square our amplitudes to calculate the probabilities.」

量子模型

簡而言之，量子理論是帶有負數的概率論。

這是什麼意思？我們不能有負概率，因為那沒有意義。為了適應這一點，我們使用了一個稱為振幅的新量，並將它們繪製在樹上。為了解決我們不能有負概率的事實，並且我們所有的概率必須加起來為 1，我們使用了一個數學技巧：我們對振幅進行平方來計算概率。

「We can see the amplitudes of finding the coin (qubit) in the state 1 cancel each other out, and we call this effect interference. You should verify for yourself that this model works when the initial state is 1.」

我們可以看到在狀態 1 中找到硬幣（量子位）的幅度相互抵消，我們稱之為效應干擾。您應該親自驗證此模型在初始狀態為 1 時是否有效。

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References

參考資料一

機率幅（Probability amplitude）

2021/08/19

「在量子力學中，機率幅是一個複數函數，它的絕對值的平方代表某種物理量的機率或機率密度。M‧玻恩提出這個概念最主要的目的是要使波函數與真實的物理量發生關連。」

「1923 年，德布羅意提出了「物質波」的假設之後，過了不久，1926 年 1 月，薛丁格就發表了他的第一篇關於波動力學的論文。薛丁格認為，他的波函數可以使物理學再度回到了一個包括連續場和波動的堅實基礎，從這個基礎出發，便可作出正確的物理預言。他創建了電子的微分方程，該方程的解就代表德布羅意波。這些解就是大家所熟知的“波函數”。」

https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=17771

參考資料二

薛丁格方程式，波函數

2021/08/20

「薛丁格方程式是由奧地利物理學家薛丁格提出的量子力學中的一個基本方程式，用來計算一個量子系統的波函數，如何隨著時間發生演變。就好像牛頓運動定律在古典力學的地位，薛丁格方程式在量子力學裏也佔有極其重要的地位。」

「既然粒子具有波-粒二象性，應該會有一個能夠反應這特性的波動方程式，正確地描述粒子的量子行為。於是，經過一反努力，薛丁格方程式總算被找到了。薛丁格用這個方程式來計算氫原子的譜線，得到了與用波耳模型計算出的能階相同的答案。」

「波函數是量子力學中用來描述粒子的德布羅意波的函數。波函數可以用來計算在量子系統中某個事件發生的機率振幅。而機率振幅的絕對值的平方，就是事件發生的機率密度。」

https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=17762

參考資料三

機率振幅絕對值平方等於機率密度

2021/08/25

「為什麼 "波函數的平方會等於機率" 呢？不是想問那個機率的操作、歸一 .... 等，而是要問這個結論是怎麼來的。」

https://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=19401

參考資料四

力學波的能量為什麼和振幅平方成正比

2021/08/28

「力學波的能量就是介質振盪的動能，因此，能量和（振幅以及頻率）的平方，都成正比。」

https://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=12069

https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=3&index_id=501

https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=3&index_id=511

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E9%81%8B%E5%8B%95

參考資料五

機率密度能量振幅平方

2021/08/27

「可以看出，波的能量與振幅 A 的平方成正比關係。單位時間內光的能量是功率。根據波動理論，光的功率和電磁波的振幅有關。而根據量子理論，單光子的能量由頻率決定 (E=hv)，整個光場的能量還和光子數有關。2015年7月5日

波的振幅與能量的關係_百度知道」

https://zhidao.baidu.com/question/551126219.html

參考資料六

複數物理量的表達習慣

2021/08/26

「物理初學者可能會以為只有量子力學才會使用到複數 (complex number)。因為量子力學的狀態空間是抽象的希爾伯特空間 (Hilbert space)，為了描述系統狀態在希爾伯特空間的演化必須使用複數，而古典物理的可觀測量都是實數，不需要使用複數。其實不然，古典物理與許多工程問題也大量使用複數表達式，雖然實際觀測的物理量確實可用實數表示。這些與實驗對應的實數量通常就是複數量的實部或虛部。在這些問題的處理中若完全不使用複數，解決過程就會變得非常繁瑣，有時候甚至根本做不到。」

https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=3&index_id=614

參考資料七

複數平面

2021/08/25

「複數絕對值的幾何意義是距離的概念，這與實數絕對值的概念一樣。」

https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=15954

(7) 高中數學_三角函數_複數的幾何意涵_複數平面_吳汀菱 - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=Sd9FFGh7EnE

參考資料八

動畫版波函數

2021/08/22

(7) 【動畫版】量子算符與波函數 - Quantum Operators - YouTube