Space

Space

2019/04/22

前言：

本文主要以五張圖來說明一些常見的數學空間。

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Fig. 1. Spaces [8]。

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Summary：

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Outline

一、數學空間
二、分析系統
三、代數系統

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一、數學空間

圖一是較重要的數學空間。

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Fig. 2a. Spaces [3]。

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二、分析系統

拓撲
微分幾何
高微
泛函
微積分

拓撲（連續、收斂）
賦距（距離）
賦範（長度）
內積（角度）

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Fig. 2b. Spaces [2]。

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圖2b容易混淆的地方有二：

1. R^n 到 Banach Space 的箭頭是多餘的。
2. Locally Convex Space 不等於 Topological Vector Space。

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Fig. 3a. Spaces [8]。

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三、代數系統

集合論
抽象代數
線性代數

圖3a容易混淆的地方。

1. R^n 到 Banach Space 的箭頭是多餘的。
2. Inner Product 到 Vector Space 的箭頭是多餘的。

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Fig. 3b. Spaces [7]。

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圖3b容易混淆的地方。

1. Euclidean Space 與 Hilbert Space 都是 Banach Space。
2. Euclidean Space 同時也是 Hilbert Space。
3. Linear Metric Space 在數學上成立，不過研究者較少。

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References

[1] Space - Encyclopedia of Mathematics
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Space

[2] Space (mathematics) - Wikipedia 
https://en.wikipedia.org/wiki/Space_%28mathematics%29

[3] 空間 (数学) - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

[4] 空間 (數學) - 維基百科，自由的百科全書
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E7%A9%BA%E9%97%B4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29

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[5] Hilbert Space – Somnath Basu Roy Chowdhury – Medium
https://medium.com/@brcsomnath/hilbert-space-7a36e3badac2

[6] 数学中为什么要定义各种空间？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/37235890  

[7] 说一说核方法（二）——数学角度简介（掉粉文） _ 机器不太会学习
http://sakigami-yang.me/2017/08/13/about-kernel-02/ 

[8] 歐幾里得空間的數學結構 _ 線代啟示錄
https://ccjou.wordpress.com/2015/09/04/%E6%AD%90%E5%B9%BE%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%B5%90%E6%A7%8B/ 

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[9] Math（三）：Space
http://hemingwang.blogspot.com/2019/04/mathspace.html