數學

數學 - Mathematics 分析 代數 - Algebra 幾何 - Geometry ----- 集合論 - Set theory 微積分 - Calculus 數學分析（高微） - Mathematical analysis 抽象代數 - Abstract algebra 微分方程 - Differential equation 複分析（複變函數） - Complex analysis 線性代數 - Linear algebra 機率論 & 統計學 - Probability theory & Statistics 拓撲學 - Topology 實分析（實變函數） - Real analysis 微分幾何 - Differential geometry ----- 「數學」，在數學高等教育裡，大致分為「分析」、「代數」、「幾何」三個學門。 代 數與幾何在中外數學史裡，源遠流長。分析的基礎是「微積分」，微積分在應用上有「微分方程」。奠基在微積分上，分析則有「高等微積分」、「複變」、「實 變」等。「拓撲」是「幾何」的一支，這兩者也搭上分析的列車，而幾何變成了「微分幾何」。「抽象代數」是代數的純粹化，而在向量空間的「線性代數」，因其 特別的應用，與微方、複變、「機率統計」，合組為「工程數學」，為工學院學生必修之科目。 ----- 1.1 微積分 - Calculus 1.2 集合論 - Set theory 微積分學 （Calculus）是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、 速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指 出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。 微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茲發現了 這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究。這個發現使我們在微分和積分之間互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方 法，該方法並不真正進行極限運算而是通過發現不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。 微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。 集合論是 一門研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合、元素和成員關係等數學中最基本的概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何 描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 2.1 數學分析（高微） - Mathematical analysis 2.2 抽象代數 - Abstract algebra 數學中的分析分支是專門研究實數與複數及其函數的數學分支。它的發展由微積分開始，並擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們應用在對物理世界的研究，研究及發現自然界的規律。 抽象代數作 為數學的一門學科，主要研究對象是代數結構，比如群、環、域、模、向量空間和代數。這些代數結構中，有的在19世紀就已經被給出了正式的定義。事實上，對 抽象代數的研究是應數學更嚴格化的要求而發展起來的。對抽象代數的研究還使人們形成了對全部數學和自然科學的基礎性邏輯假設（的複雜性）的整體認識，現 今，幾乎沒有那一個數學分支用不到代數學的結論。此外，隨著抽象代數的發展，代數學家們發現：明顯不同的邏輯結構通過類比可以得到一個很簡練的由公理構成 的核心。這對深入研究代數的數學家是有益的，並賦予他們更大的本領。 3.1 微分方程 - Differential equation 3.2 複分析（複變函數） - Complex analysis 3.3 線性代數 - Linear algebra 3.4 機率論 & 統計學 - Probability theory & Statistics 微分方程（這 裡指的是全微分方程）指含有一次、二次、乃至高次微分未知數的方程。是解決偏微分方程、數理方程的基礎。有許多特殊函數，都是為了無法得出多項函數或超越 函數型式的解析解的微分方程而定義出來。這些特殊函數之所以重要，是因為它們描述了自然界中的某些現象，例如，電子的活動、鼓皮的振動、鐘擺的擺動等等。 微分方程包含線性微分方程、拉普拉斯變換、常微分方程、偏微分方程等。 Complex analysis, traditionally known as the theory of functions of a complex variable, is the branch of mathematics investigating functions of complex numbers. It is useful in many branches of mathematics, including number theory and applied mathematics, and in physics. Complex analysis is particularly concerned with the analytic functions of complex variables, which are commonly divided into two main classes: the holomorphic functions and the meromorphic functions. Because the separable real and imaginary parts of any analytic function must satisfy Laplace's equation, complex analysis is widely applicable to two-dimensional problems in physics. 線性代數是 數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣 泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為算子理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似 為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。 機率論或概率論是研究隨機性或不確定性等現象的數學。更精確地說，機率論是用來模擬實驗在同一環境下會產生不同結果的情狀。典型的隨機實驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤遊戲等。數學家和精算師認為機率是在0至1之間之閉區間的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。 統計學是 數學的一門，用來搜集，分析，演繹以及呈現數據。它被廣泛的應用在各門學科之上，從物理和社會科學到人文科學，甚至被用來工商業及政府的情報決策之上。給 定一組數據，統計學可以摘要並且描述這份數據。這個用法稱作為描述統計學。另外，觀察者以數據的形態建立出一個用以解釋其隨機性和不確定性的數學模型，以 之來推論研究中的步驟及母體，這種用法被稱做推論統計學。這兩種用法都可以被稱作為應用統計學。另外也有一個叫做數理統計學的學科專門用來討論這門科目背 後的理論基礎。 4.1 拓撲學 - Topology 4.2 微分幾何 - Differential geometry 4.3 實分析（實變函數） - Real analysis