Thursday, May 02, 2019

Math(一):Space

Math(一):Space

2019/04/22

前言:

本文簡單介紹數學上一些常見的空間,後續會有詳細的展開(希望)。

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Fig. Space(圖片來源)。

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Summary:

集合與作用在集合上的數學結構,叫做空間 [1]-[6]。藉由線性組合、距離、長度、角度、完備等概念,我們可以把一個抽象的多維實數集合定義成歐氏空間 [4]。微積分與幾何最常討論三維(含以下)歐氏空間。高微與線代則討論三維以上的多維歐氏空間。泛函分析主要討論希爾伯特與巴拿赫這兩個函數空間。高微一開始則討論賦距空間。微分幾何作為拓撲的一支,則討論流型。

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Outline

一、Topological Space、Vector Space
二、Manifold、 Metric Space、Topological Vector Space
三、Normed Vector Space、Dual Space
四、Inner Product Space、Banach Space
五、Hilbert Space
六、Euclidean Space
七、ℝ³

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Fig. 1. Spaces [6]。

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Space = Set + Structure。

首先說一下數學上的空間。

數學上的空間,並不是我們一般概念上的空間。數學上的空間,指的是一個集合,集合搭配不同的數學運算,就形成不同的數學空間 [4]。

空間大致可以分為七層。

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一、Topological Space(拓撲)、Vector Space(線代)。

拓撲空間屬於分析系統,主要討論連續、收斂。向量空間屬於代數系統,主要討論運算。

向量空間:線性組合(加法與純量積的封閉性)。 

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二、Manifold(微分幾何)、 Metric Space(高微)、Topological Vector Space。

度量空間:度量(距離)。

常見的 metric 有 Euclidean distance、Manhattan distance 以及 Minkowski distance [1]。

拓撲跟高微的收斂不同。

由賦範向量空間推廣的局部凸空間 (Seminorm) 是 拓撲向量空間的一個重要例子。

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三、Normed Vector Space、Dual Space(SVM)。

賦範向量空間:範數(長度)。

賦範向量空間除了整合分析與代數這兩個數學學門之外,也可導出對偶空間這個概念。對偶空間是 Support Vector Machine 的理論基礎之一。

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四、Inner Product Space、Banach Space(泛函)。

內積空間:內積(角度)。
巴拿赫空間:完備性(柯西數列收斂)。

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五、Hilbert Space(泛函)。

希爾伯特空間:內積與完備性。

「初等微積分跟高等微積分的差別就在於「研究的微積分所在的空間維數不同」。初等微積分主要以實數線,平面,三維空間的微積分為主。高等微積分所希望研究的對象是 n >= 3 或是無窮維的向量空間。」[5]。

「希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間的一個推廣,使之不局限於實數的情形和 .... 在所有的無窮維拓撲向量空間中,希爾伯特空間性質最好,也最接近有限維空間的 ...」[wiki]。

從 L^2 對應到的 l^2 是 R^infinity。高微也討論無窮維的實數空間 [5]。

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六、Euclidean Space(線代、高微)。

R^n

「歐幾里得空間 R^n 是有序數組(稱為點或向量) (x_1, ... ,x_n) 形成的集合,其中 x_i 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合(向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。」[4]。

半正定

運用 Kernel Function 可以把歐氏空間的點映射到 Reproducing Kernel Hilbert Space,然後找到一個超平面,把這些點分割為兩群。

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七、ℝ³(微積分、幾何)。

ℝ³ 是常見的三維實數空間。

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另外有 Function Space(泛函)。Dual Space、Banach Space 的 L^p Space,Hilbert Space 的 L^2 Space,都是 Function Space 的例子。

另外有 Measure Space(測度學)、Sample Space(機率)、Probability Space(機率)[6]。

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結論:

「理解不能總停留在入門階段,當你熟悉向量空間的時候,就要在向量空間的基礎上思考問題了。理解力要一個一個台階的上,這樣才能去面對更複雜的結構,更複雜的問題。例如,我們說到「張量代數」時,你理解它的「原料」或者說「起點」就應該是向量空間,而不是從最直觀的例子開始。」[2]。

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底下是蔡炎龍老師的補充:

「Dual Space 其實不是一般線性轉換形成的向量空間, 是線性泛函形成的向量空間。

以上的解釋都是說給不太想讓人瞭解這是什麼的時候說的 :D 在數學上來說, dual space 就是很容易打造出來、向量空間的「平行宇宙」。

有些東西在 dual space 上比較容易, 我們就在 dual space 上考慮。比如說, 一個原來空間中過原點的 hyperplane, 就會對應到 dual space 中的一個點。」

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References

[1] Hilbert Space – Somnath Basu Roy Chowdhury – Medium

[2] 数学中为什么要定义各种空间? - 知乎

[3] 说一说核方法(二)——数学角度简介(掉粉文) _ 机器不太会学习

[4] 歐幾里得空間的數學結構 _ 線代啟示錄 

[5] [閒聊]初微和高微的差別? – 尼斯的靈魂

[6] Space - The Star Also Rises

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